창의력 글쓰기 대회 수학일기 최우수상
와이즈만 영재교육 인천남동센터 5학년 문도윤
[목표] 어떤 그림이 주어져도 최소 몇 가지 색이 필요한지 바로 알아내기
[주로 나오는 문제] 아래와 같은 그림을 색칠하려고 한다. 인접한 영역은 다른 색으로 칠할 때 최소 몇가지 색이 필요한지 구하시오. (그림은 아랫줄 왼쪽에)
이런 문제가 주어졌을 때에는 어떻게 해야 할까? 직접 하나 하나 칠해봐야 할까? 그럴수도 있겠지만 그럼 시간이 너무 오래걸리고 오류도 많다. 이제 방법을 알아보자.
1단계 : 문제의 그림에 그래프 그리기
아니, 그래프라면 무슨 그래프를 그리는 거라는 걸까? 바로 저번 시간에 배웠던 그래프이다. 그래프란 점들과 점들 사이를 연결하는 선분으로 구성되는 것인데 어떤 두 점 사이에는 선분이 없거나 점 1개가 있다.
이번엔 바로 주어진 그림 위에 그래프를 그리면된다. 그럼 그래프 그리는 법을 알려주겠다.
첫째, 나누어진 각 영역에 검을 하나씩 직는다. 둘째, 서로 인접한 부분이 있는 영역 외 점 끼리만 선을 이어준다. (이게 정말 중요하다. 이걸 틀리면 답도 틀리게 되니 조심할 것) 추가로, 서로 점으로만 닿아있는건 인접한다고 보지 않는다. 꼭 변으로 닿아있어야 한다. 그럼 1단계 끝이다.
2단계 : 2가지 색으로 색칠할 수 없는 그래프
(1) 다음과 같이 3개의 점으로 이루어진 그래프는 2가지 색으로 칠할 수 없다. 왜 그럴까?
색 한개를 A, 또다른 색은 13라고 하자. A, B를 그래프의 점마다 칠하면 A가 처음 A와 만난다.
이는 점이 홀수개이기 때문에 처음과 끝의 색이 같아지는 것이다. 하지만 그렇다고 점이 홀수개면 무조건 2개로 색칠 못하는 건 아니다. 점이 홀수개인 '회로' 모양의 그래프여야 한다.
개념 Plus+ : 어떤 점에서 시작해 그래프의 선분을 따라 이동하다 점들을 지나 다시 처음 점으로 돌아오는 모양이 회로이다. 이때 한 점을 2번 지나치면 안된다.
3단계 : 3가지 색으로 칠할 수 없는 그래프
(2단계와 비슷한 질문이기 때문에, 질문을 쓰지 않고 바로 넘어가겠다.)
<회로1> 같은 그래프는 3가지 색으로 칠할 수가 없다고 한다. 이유를 살펴보자면, 일단 이미 바깥 그래프가 점 홀수개인 회로라 이미 3개가 필요하고 점☆은 다른 모든 점들과 연결되어 있어서 또다른 색을 써야 한다. 그래서 3가지 색이 아닌 4가지 색이 필요한 것이다.
[문제풀이] 이번에는 조금 더 어려운 문제를 풀어보겠다. 그래프를 그린 뒤, 2단계에 해당하는 것이 있는지 찾고, 3단계에 해당하는게 있는지도 찾는다.
(분홍색)로 표시한 부분이 2단계에 해당하고 (주황색)로 표시한 부분은 3단계에 해당한다. 그러므로 이 문제의 답은 '4가지'이다.
[소감] 처음 문제를 봤을 때는 막막했는데 방법을 알고나니 문제 푸는게 즐거워졌다.
지도에서는 4가지 색이면 되지만 지도가 아닌 입체에서도 4가지 색만 있으면 될지 궁금하다. 한 번 찾아봐야겠다.
[ 작품 원본 보기 ▼ ]
이 작품은 와이즈만 영재교육에서 개최하는 '수학·과학 창의력 글쓰기 대회' 에 출품된 작품입니다.
[목표] 어떤 그림이 주어져도 최소 몇 가지 색이 필요한지 바로 알아내기
[주로 나오는 문제] 아래와 같은 그림을 색칠하려고 한다. 인접한 영역은 다른 색으로 칠할 때 최소 몇가지 색이 필요한지 구하시오. (그림은 아랫줄 왼쪽에)
이런 문제가 주어졌을 때에는 어떻게 해야 할까? 직접 하나 하나 칠해봐야 할까? 그럴수도 있겠지만 그럼 시간이 너무 오래걸리고 오류도 많다. 이제 방법을 알아보자.
1단계 : 문제의 그림에 그래프 그리기
이번엔 바로 주어진 그림 위에 그래프를 그리면된다. 그럼 그래프 그리는 법을 알려주겠다.
아니, 그래프라면 무슨 그래프를 그리는 거라는 걸까? 바로 저번 시간에 배웠던 그래프이다. 그래프란 점들과 점들 사이를 연결하는 선분으로 구성되는 것인데 어떤 두 점 사이에는 선분이 없거나 점 1개가 있다.
첫째, 나누어진 각 영역에 검을 하나씩 직는다. 둘째, 서로 인접한 부분이 있는 영역 외 점 끼리만 선을 이어준다. (이게 정말 중요하다. 이걸 틀리면 답도 틀리게 되니 조심할 것) 추가로, 서로 점으로만 닿아있는건 인접한다고 보지 않는다. 꼭 변으로 닿아있어야 한다. 그럼 1단계 끝이다.
2단계 : 2가지 색으로 색칠할 수 없는 그래프
색 한개를 A, 또다른 색은 13라고 하자. A, B를 그래프의 점마다 칠하면 A가 처음 A와 만난다.
이는 점이 홀수개이기 때문에 처음과 끝의 색이 같아지는 것이다. 하지만 그렇다고 점이 홀수개면 무조건 2개로 색칠 못하는 건 아니다. 점이 홀수개인 '회로' 모양의 그래프여야 한다.
(1) 다음과 같이 3개의 점으로 이루어진 그래프는 2가지 색으로 칠할 수 없다. 왜 그럴까?
개념 Plus+ : 어떤 점에서 시작해 그래프의 선분을 따라 이동하다 점들을 지나 다시 처음 점으로 돌아오는 모양이 회로이다. 이때 한 점을 2번 지나치면 안된다.
3단계 : 3가지 색으로 칠할 수 없는 그래프
<회로1> 같은 그래프는 3가지 색으로 칠할 수가 없다고 한다. 이유를 살펴보자면, 일단 이미 바깥 그래프가 점 홀수개인 회로라 이미 3개가 필요하고 점☆은 다른 모든 점들과 연결되어 있어서 또다른 색을 써야 한다. 그래서 3가지 색이 아닌 4가지 색이 필요한 것이다.
(2단계와 비슷한 질문이기 때문에, 질문을 쓰지 않고 바로 넘어가겠다.)
[문제풀이] 이번에는 조금 더 어려운 문제를 풀어보겠다. 그래프를 그린 뒤, 2단계에 해당하는 것이 있는지 찾고, 3단계에 해당하는게 있는지도 찾는다.
(분홍색)로 표시한 부분이 2단계에 해당하고 (주황색)로 표시한 부분은 3단계에 해당한다. 그러므로 이 문제의 답은 '4가지'이다.
[소감] 처음 문제를 봤을 때는 막막했는데 방법을 알고나니 문제 푸는게 즐거워졌다.
지도에서는 4가지 색이면 되지만 지도가 아닌 입체에서도 4가지 색만 있으면 될지 궁금하다. 한 번 찾아봐야겠다.
[ 작품 원본 보기 ▼ ]
이 작품은 와이즈만 영재교육에서 개최하는 '수학·과학 창의력 글쓰기 대회' 에 출품된 작품입니다.